Videos para mejor comprensión.

¡Hola! En esta entrada les dejaré unos cuantos videos que he hecho a lo largo de este ciclo escolar para la mejor comprensión de los temas.

Espero que sean de su agrado y que los ayuden. Cualquier duda se podrá resolver en el chat.

Propiedades de los triángulos

Hay tres propiedades de los triángulos que son muy importantes.

1) La suma de sus ángulos interiores es 180º.

2) La suma de sus ángulos exteriores es 360º.

3) Cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él (o sea sus opuestos).

Criterio de Semejanza LAL

Teorema de semejanza LAL.

Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio de Semejanza LLL

Criterio de semejanza Lado-Lado-Lado(LLL)

Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio de Semejanza AA

Criterio de semejanza AA.

Si dos pares de ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales, entonces los triángulos son semejantes.

Semejanza de triángulos

En matemáticas se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tamaños entre ellos. Por ejemplo, dos mapas con distintas escalas son semejantes, pues la forma del contenido no cambia, pero sí el tamaño.

• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

• Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Criterios de semejanza:

• Criterio AA

• Criterio LLL

• Criterio LAL

Congruencia de triángulos- Criterio LLA

Criterio lado-lado-ángulo (LLA)

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

Congruencia de triángulos- Criterio LLL

Criterio Lado-Lado-Lado  (L L L)

Dos triángulos son congruentes 

si sus lados son respectivamente iguales,

Cada una de las parejas de lados deben ser iguales,

c y c´

a y a´

b y b' 

Congruencia de triángulos-Criterio ALA

Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (A L A)

Dos triángulos son congruentes entre sí tienen 

un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también son congruentes.

Congruencia de triángulos- Criterio LAL

lado-ángulo-lado (LAL)

Regla de congruencia de los triángulos que establece que cuando dos lados y el ángulo incluido entre ellos de un triángulo son congruentes con los dos lados correspondientes y el ángulo incluido entre ellos de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.

Congruencia de triángulos

Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triágulos tienen  entre si la misma forma y tamaño .

Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo  .

Definición:

Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes.

Estas son:

1.- Congruencia de sus lados

2.- Congruencia de sus ángulos

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

Triángulo Acutángulo

Los triángulos acutángulos son aquellos cuyos tres ángulos internos son agudos, ya que miden menos de 90º.

Esto quiere decir que un triángulo cuyos ángulos interiores miden 45º, 80º y 55º, por ejemplo, es un triángulo acutángulo: sus tres ángulos son agudos. Si tuviera un ángulo que mide 90º, en cambio, sería un triángulo rectángulo por la presencia del ángulo recto. En cambio, si uno de sus ángulos fuera obtuso (más de 90º), recibiría la calificación de triángulo obtusángulo.

Es importante resaltar que los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos también forman parte del grupo de los triángulos oblicuángulos, denominación que alude a que ninguno de los ángulos internos es recto.

• La suma de dos de sus lados viene a ser mayor que la longitud que tiene el tercer lado.

• En el triángulo acutángulo queda patente, porque se cumple, lo que se conoce como teorema del seno.

• Si se unieran dos puntos medios de dos de los lados del citado triángulo se le daría forma a un segmento que sería paralelo al tercer lado. Y ese paralelo, a su vez, podemos determinar que tendría una longitud que sería la mitad del otro.

• La suma de lo que son los ángulos internos que posee vienen a sumar 180º. 

Triángulo Obtusángulo

Un Triángulo Obtusángulo es aquél triángulo que tiene un ángulo mayor a 90 grados. Si no es la primera vez que vienes a este sitio de matemáticas, es muy probable que ya hayas revisado otros temas que te han permitido conocer y descubrir los tipos de ángulos y los diferentes tipos de triángulos, si no es así, te invitamos a que los revises.

Debido a que estos triángulos tienen los ángulos de diversas medidas y tamaños en cada uno de sus lados, es un poco más difícil resolverlos por los métodos tradicionales que ya hemos estudiado, en ocasiones, obtener su Área se vuelve sumamente difícil y se requiere del uso de teorías y reglas trigonométricas, como son las reglas de los senos y las reglas de los cosenos.

• Los triángulos obtusángulos también son triángulos oblicuángulos ya que ninguno de sus ángulos internos es recto.

• Es importante tener en cuenta que los triángulos obtusángulos también pueden incluirse en otros conjuntos según las características de sus lados. El triángulo obtusángulo que tiene dos lados que miden igual y un tercer lado diferente es un triángulo isósceles. Si el triángulo obtusángulo presenta tres lados distintos, todos con medidas diferentes, es un triángulo escaleno.

Triángulo rectángulo

En geometría euclídea plana se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.​ Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios.

En todo triángulo rectángulo se cumple que:

• Tiene dos ángulos agudos.

• La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

• El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

• La suma de la hipotenusa y el diámetro de un círculo inscrito en el triángulo es igual a la suma de los catetos.

• Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.

• La mediana de la hipotenusa descompone un triángulo rectángulo escaleno en dos triángulos: uno obtusángulo y otro acutángulo, no congruentes pero equivalentes.

• La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles lo descompone en dos triángulos rectángulos isósceles congruentes y equivalentes.

• Dos triángulos rectángulos, con hipotenusa común, y los ángulos rectos en semiplanos opuestos determinados por la recta que contiene a la hipotenusa, forman un cuadrilátero birrectángulo.​

• La mediana que parte del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.

• La altura que parte del vértice del ángulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como una base.

Triángulo Escaleno

Son aquellos que tienen tres lados de diferente longitud. Dicho de otro modo: los tres lados son distintos.

Esta particularidad diferencia a los triángulos escalenos de los triángulos equiláteros (los tres lados miden lo mismo) y de los triángulos isósceles(cuentan con dos lados iguales). Los triángulos escalenos, por otra parte, albergan tres ángulos interiores que también son todos distintos.

Triángulo Isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales​).

Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.

     En todo triángulo isósceles:

• Los ángulos opuestos a los lados iguales, son iguales. 

• La bisectriz del ángulo opuesto a la base, corta a la base en su punto medio. La bisectriz coincide con la mediana del lado AB.

• La bisectriz del ángulo opuesto a la base, es perpendicular a la base. La bisectriz coincide con la altura correspondiente al lado AB.

Triángulo Equilátero

En geometría, un triángulo equilátero, es un polígono regular con tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo con un valor de 60°.

Propiedades de un triángulo equilátero:

• La altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz de un triángulo equilátero son iguales, como segmentos y tienen la misma medida, por la simetría de la figura y perpendicularidad de tales segmentos.

• El baricentro, el incentro, circuncentro, ortocentro coinciden en un mismo punto y su distancia a un vértices es el doble de su distancia a la base.

• Considerando el baricentro, como centro de rotación, las rotaciones de 0º, 120º y 240º llevan la figura sobre sí misma, las reflexiones sobre cada una de las medianas llevan la figura sobre sí misma. Luego se puede establecer un grupo de movimientos del triángulo equilátero de orden 6.

• Dos triángulos equiláteros con un lado común forman un paralelogramo o, mejor aún, un rombo.

• Tres triángulos, dos a dos con un lado común, conforman un trapecio isósceles.

• Cuatro triángulos equiláteros si se disponen adecuadamente forman un triángulo equilátero de cuatro veces el área y doble perímetro del original.

• La altura de un triángulo equilátero la biseca en dos triángulos rectángulos congruentes, tal que en cualquiera de ellos se pueden definir las razones trigonométricas de un ángulo de 30º, como el de 60º.

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• Como triángulo equilátero
• Como triángulo isósceles 

• Como triángulo escaleno 

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo
• Triángulo obtusángulo
• Triángulo acutángulo